TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. VICTORIA
Materia Cálculo Diferencial
miércoles, 4 de diciembre de 2024
4.1 TEOREMA DE ROLLE
TEOREMA DE ROLLE
El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] debe tener tanto un mínimo como un máximo en el intervalo. Ambos valores, sin embargo, pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle, nombrado así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.
- Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
- Si ƒ(a) ƒ(b)
- entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que ƒ′(c) = 0
DEMOSTRACIÓN:
- Caso 1: Si ƒ(x) = d para todo x en [a, b], f es constante en el intervalo y, por el teorema 2.2, ƒ'(x)=0 para todo x en (a, b).
- Caso 2: Suponer que ƒ(x) > d para algún x en (a, b). Por el teorema del valor extremo, se sabe que f tiene un máximo en algún punto c en el intervalo. Además, como ƒ(c) > d, este máximo no puede estar en los puntos terminales. De tal modo, f tiene un máximo en el intervalo abierto (a, b). Esto implica que f(c) es un máximo relativo y por el teorema 3.2, c es un número crítico de f. Por último, como f es derivable en c, es posible concluir que ƒ(c) 0.
- Caso 3: Si ƒ(x) < d para algún x en (a, b), se puede utilizar un argumento similar al del caso 2, pero implicando el mínimo en vez del máximo.
EJEMPLO:
Encontrar las dos intersecciones en x de
f (x) = x2 - 3x + 2
y demostrar que ƒ′(x) = 0 en algún punto entre las dos intersecciones en x.
Solución: Advertir que f es derivable en toda la recta real. Igualando a 0 ƒ(x) se obtiene
x2 - 3x + 2 = 0 Igualar f(x) a cero.
(x - 1) (x - 2) =0 Factor.
De tal modo, ƒ (1) = ƒ (2) = 0, y de acuerdo con el teorema de Rolle se sabe que existe al menos una c en el intervalo (1, 2) tal que ƒ′(c) = 0. Para determinar una c de este tipo, es factible resolver la ecuación.
f'(x) = 2x - 3 = 0 Igualar f ′(x) a cero.
y determinar que ƒ′(x) = 0 cuando x = 3/2. Advertir que el valor de x se encuentra en el intervalo abierto (1, 2), como se indica en la figura 3.9.
El teorema de Rolle establece que si f satisface las condiciones del teorema, debe haber al menos un punto entre a y b en el cual la derivada es 0. Es posible que exista más de un punto de estas características, como se muestra en el siguiente ejemplo.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
El teorema de Rolle puede utilizarse para probar otro teorema: el teorema del valor medio.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número c en (a, b) tal que
f '(c) = f (b) - f (a) / b - a
DEMOSTRACIÓN:
y = [f (b) - f (a) / b - a] (x - a) + f (a)
Sea g(x) la diferencia entre f(x) y y. Entonces
g(x) = f (x) - y
= f (x) - [f (b) - f (a) / b - a] (x - a) - f (a)
Evaluando g en a y b, se observa que g(a) = 0 = g(b). Como f es continua en [a, b] se sigue que g también es continua en [a, b]. Además, en virtud de que f es derivable, g también lo es, y resulta posible aplicar el teorema de Rolle a la función g. Así, existe un número c en (a, b) tal que g′(c) = 0, lo que implica que
0 = g' (c)
= f ' (c) - f (b) - f (a) / b - a
De tal modo, existe un número c en (a, b) tal que
f ' (c) = f (b) - f (a) / b - a
NOTA:
El término “medio” en el teorema del valor medio se refiere al ritmo de cambio medio (o promedio) de f en el intervalo [a, b].
EJEMPLO:
Determinación de una recta tangente
Dada ƒ(x) = 5 - (4 / x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1, 4) tales que
f ' (c) = f (4) - f (1) / 4 - 1
Solución:
La pendiente de la recta secante que pasa por (1, ƒ (1) ) y (4, ƒ (4) ) es
f (4) - f (1) / 4 - 1 = 4 - 1 / 4 - 1 = 1
Nótese que f satisface las condiciones del teorema del valor medio. Esto es que f es continua en el intervalo [1, 4] y derivable en el intervalo (1, 4). Entonces, existe al menos un número c en (1, 4) tal que ƒ′(c) = 1. Resolviendo la ecuación ƒ′(x) = 1, se obtiene
f ' (x) = 4 / x2 = 1
que implica x = ± 2. De tal modo, en el intervalo (1, 4), se puede concluir que c 2, como se indica en la figura 3.13.
4.2 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
Una función f es creciente en un intervalo si para cualquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f (x1) < f (x2).
Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 <x2 implica f (x1) > f (x2).
CRITERIO PARA LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES:
Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
- Si f ' (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]
- Si f ' (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]
- Si f ' (x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a, b]
EJEMPLO:
Intervalos sobre los cuales fes creciente y decreciente
Determine los intervalos abiertos sobre los cuales f (x) = x3 -3/2x2 es crecientes o decreciente.
Solución:
Observe que f es derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar los puntos críticos de f, iguale a cero f ' (x).
f (x) = x3 - 3/2x2 Escriba la función original.
f ' (x) = 3x2 - 3x Derive.
Para determinar los puntos críticos de f, iguales f ' (x) a cero.
3x2 - 3x = 0 Iguale f ' (x) a cero.
3 (x) (x - 1) = 0 Factorice.
x = 0, 1 Puntos críticos.
Como no hay puntos para los cuales f ' no existe, puede concluir que x = 0 y x = 1 son los únicos puntos críticos. La tabla siguiente resume la prueba de los tres intervalos determinados por estos dos puntos críticos.
4.3 VALORES EXTREMOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
VALORES EXTREMOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
Si f es una función cuyo valor es c, se tiene que:
- Si f (c) se llama un máximo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f (x) ≤ f (c) para todo x en dicho intervalo; es decir, si f (c) es mayor que cualquiera de los valores de f (x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.
- f (c) se llama un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a x tal que f (x) ≥ f (c) para todo x en dicho intervalo; es decir, si f (c) es menor que uno cualquiera de los valores de f (x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.
EJEMPLO:
4.4 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
La función y = f (x) presenta un máximo relativo para x = c; se observa en la gráfica que antes del máximo la derivada es positiva, es decir, la pendiente es positiva; después del máximo la derivada es negativa, es decir, la pendiente es negativa; como la derivada cambia de positiva a negativa, entonces la función es continua, ya que pasa por cero, dando lugar al siguiente enunciado:
La función y = f (x) tiene un máximo relativo para x = c; donde la derivada para x = c es cero (f ' (c) = 0) y cambia de signo pasando de positiva o negativa.
PASOS MÉTODO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (PASOS A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN)
- Se encuentra la primera derivada de la función dada.
- Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante determinando las raíces reales o valores críticos d la variable.
EJEMPLO:
- Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = 2x3 + 3x2 - 12x.
SOLUCIÓN:
a) Se encuentra la primera derivada de la función:
y = 2x3 + 3x2 - 12
y' = 6x2 + 6x - 12 = x2 + x - 2
b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:
x2 + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x + 2 = 0x - 1 = 0
x1 = -2 x2 = 1 Raíces reales o valores críticos
c)Se analizan los valores críticos uno por uno
Para x = -2
Un valor un poco menor Un valor un poco mayor
x = -3 x = -1
y' = x2 + x - 2 y' = x2 + x - 2
y' = (-3)2 + (-3) - 2 y' = (-1)2 + (-1) - 2
y' = 9 - 3 - 2 = 4 y' = 1 - 1 - 2 = -2
y' = + y = -
Para x = -2, tenemos un máximo cuyo valor es:
y = 2x3 + 3x2 - 12x
y = 2 (-2)3 + 3 (-2)2 - 12 (-2)
y = -16 + 12 + 24 = 20
Cuando e = -2, tenemos un máximo de 20.
Para x = 1
Un valor un poco menor Un valor un poco mayor
x = 0 x = 0
y ' = x2 + x - 2 y' = x2 + x - 2
y' = (0)2 + (0) - 2 = -2 y' = (0)2 + (0) - 2 = -2
y' = - y' = -
Para x = 1, tenemos un mínimo cuyo valor es:
y = 2x3 + 3x2 - 12x
y = 2 (1)3 + 3 (1)2 - 12 (1)
y = 2 + 3 - 12 = -7
Al realizar la gráfica correspondiente de y = 2x3 + 3x2 - 12x se tiene:
4.5 CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN DE FUNCIONES
CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN DE FUNCIONES
Al localizar los intervalos en los que la derivada de una función crece o decrece, podemos indicar sobre la gráfica en dónde se curva hacia abajo o hacia arriba; lo anterior se conoce como concavidad.
CRITERIO DE CONCAVIDAD:
- Sea y = f (x) una función cuya gráfica se cóncava hacia arriba si su segunda derivada es positiva (y '' > 0) y es cóncava hacia abajo si su segunda derivada es negativa (y '' < 0).
PUNTOS DE INFLEXIÓN:
Es aquel que separa los arcos de una curva que tienen su concavidad en sentidos opuestos.
En cada punt de inflexión la recta tangente cruza la curva, por lo que el signo de la segunda derivada cambia en dichos puntos.
Para encontrar los puntos de inflexión se requiere calcular los valores de x para los que la segunda derivada es igual a cero.
REGLAS PARA ENCONTRAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN Y EL SENTIDO DE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA:
- Se determina la segunda derivada de la función dada
- Se iguala a cero la segunda derivada, se resuelve la ecuación resultante y se consideran las raíces reales de la ecuación
- Se analizan los valores de las raíces obtenidas, primero para valores un poco menores y después para valores un poco mayores; si el signo de la segunda derivada cambia, indica la existencia de un punto de inflexión.
- Cuando la segunda derivada es positiva, la curva es cóncava hacia arriba (+).
- Cuando la segunda derivada es negativa, la curva es cóncava hacia abajo (-).
- Encuentra los puntos de inflexión y el sentido de la concavidad para y = x3 - 3x2 + 3 y traza su gráfica.
a)Se determina la segunda derivada de la función:
y = x3 - 3x2 + 3
y' = 3x2 - 6x
y'' = 6x - 6
y'' = x - 1
b)Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación resultante.
x - 1 = 0
x = 1
c)Se analiza el valor de la raíz obtenida
Para x = 1
Un valor un poco menor Un valor un poco mayor
x = 1/2 = 0.5 x = 3/2 = 1.5
y'' = x - 1 y = x - 1
y'' = 1/2 - 1 = - 1/2 y'' = 3/2 - 1 = 1/2
y '' = - y'' = +
Si hay punto de inflexión.
El punto de inflexión es:
y = x3 - 3x2 + 3 } Para x = 1, se tiene:
y = (1)3 - 3 (1)2 + 3
y = 1 - 3 + 3 = 1
Existe un punto de inflexión en (1,1).
Al elaborar la gráfica correspondiente de y = x3 - 3x2 + 3, se tiene:
4.6 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
La función y = f (x) tiene un número relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor negativo; tendrá un mínimo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor positivo.
SEGUNDO MÉTODO PARA CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (PASO A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN):
- Se encuentra la primer derivada de la función dada.
- Se iguala la primer derivada a cero y se resuelve, se determina las raíces reales o valores críticos de la variable.
- Se encuentra la segunda derivada de la función dada.
- Se sustituye en la segunda derivada cada uno de los valores críticos obtenidos.
El método anterior no es aplicable si la segunda derivada es igual a cero o no existe; en su lugar se aplica el primer método.
EJEMPLO:
- Aplicando el segundo método, determina los máximos y mínimos relativos para las siguientes funciones: y = x4 - 4x2 + 4
SOLUCIÓN:
a) Se encuentra la primer derivada de la función:
y = 3x5 - 20x3
y' = 15x4 - 60x2
y' = x4 - 4x2
b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:
x4 - 4x2 =0
x2 (x2 - 4) = 0
x1 = 0 x2 - 4 = 0
x2 = 4
x2 = ± 2
c) Se encuentra la segunda derivada de la función:
y' = x4 - 4x2
y'' = 4x3 - 8x
y'' = x3 - 2x
d) Se analizan los valores críticos en la segunda derivada:
Para x = 0
y'' = x3 - 2x
y'' = (0)3 - 2 (0)
y'' = 0
Como y'' = 0, el criterio de la segunda derivada no se aplica.
Para x = 2
y'' = x3 - 2x
y'' = (2)3 - 2 (2)
y'' = 8 - 4 = 4
y'' = + Mínimo
Cuando x = 2, tenemos un máximo, cuyo valor es:
y = 3x5 - 20x3
y = 3 (2)5 - 20 (2)3
y = 96 - 160
y = -64
Existe un mínimo en -64
Para x = -2
y'' = x3 - 2x
y'' = (-2)3 - 2 (-2)
y'' = -8 + 4 = -4
y'' = - Mínimo
Cuando x = -2, tenemos un máximo, cuyo valor es:
y = 3x5 - 20x3
y = 3 (-2)5 - 20 (-2)3
y = -96 + 160
y = 64
Existe un máximo en 64
Al elaborar la gráfica correspondiente de y = 3x5 - 20x, se tiene:
4.7 ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN.GRAFICACIÓN
ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN.GRAFICACIÓN
ESTRATEGIA PARA ANALIZAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN:
l. Determinar el dominio y el rango de la función.
2. Determinar las intersecciones, asíntotas y la simetría de la gráfica.
3. Localizar los valores de x para los cuales f' y f", son cero o no existen. Utilizar los resultados para determinar los extremos relativos y puntos de inflexión.
EJEMPLO:
Dibujar la gráfica de una función racional
Analice y dibuje la gráfica de f(x) = 2(x2 - 9) / x2 - 4
SOLUCIÓN:
Primera derivada: f '(x) = 20x / (x2 -4)2
Segunda derivada: f ''(x) = -20 (3x2 + 4) / (x2 - 4)3
Intersección en x: (-3, 0). (3, 0)
Intersección en y: (0, 9/2)
Asíntotas verticales: x = -2, x = 2
Asíntota horizontal: y = 2
Punto crítico: x = 0
Posibles puntos de inflexión: Ninguno
Dominio: Todos los números reales excepto x = ± 2
Simetría: Respecto al eje y
Intervalos de prueba: (-oo, -2), (-2, O), (O, 2), (2, oo)
La tabla muestra cómo se usan los intervalos de prueba para determinar varias características de la gráfica. La gráfica def se muestra en la figura 5.33 .
4.8 RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
Ya ha visto que la derivada se utiliza para calcular pendientes. Pero también sirve para determinar la razón del cambio de una variable respecto a otra, lo que le confiere utilidad en una amplia variedad de situaciones. Algunos ejemplos son las razones de crecimiento de poblaciones, las razones de producción, las razones de flujo de un líquido, la velocidad y la aceleración.
Un uso frecuente de la razón de cambio consiste en describir el movimiento de un objeto que va en línea recta. En tales problemas, la recta del movimiento se suele representar en posición horizontal o vertical, con un origen marcado en ella. Sobre tales rectas, el movimiento hacia la derecha ( o hacia arriba) se considera de dirección positiva y el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) de dirección negativa. La función s que representa la posición (respecto al origen) de un objeto como función del tiempo t se denomina función de posición. Si durante cierto lapso de tiempo C!.t el objeto cambia de su posición en una cantidad.
△s = s (t + △t) - s (t)
entonces, empleando la consabida fórmula
Razón = distancia / tiempo
La velocidad promedio es
Cambio en distancia / Cambio en tiempo = △s / △t velocidad promedio
EJEMPLO:
Velocidad promedio de un objeto en su caída Si se deja caer una bola de billar desde una altura de 100 pies, su alturas en el instante t se representa mediante la función de posición.
s = -16t2 + 100 Función de posición
donde s se mide en pies y t en segundos. Encuentre su velocidad promedio para cada uno de estos intervalos
a. [1 , 2] b. [1 , 1.5] c. [1 , 1.1]
SOLUCIÓN:
a. En el intervalo [ 1, 2], el objeto cae desde una altura de s( 1) = -16(1 )2 + 100 == 84 pies hasta una altura de s(2) = - 16(2)2 + 100 = 36 pies. La velocidad promedio es
△s / △t = 36 - 84 / 2 - 1 = -48 / 1 = -48 pies por segundo
b. En el intervalo [l, 1.5] el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de s(l.5) = -16(1.5)2 + 100 = 64 pies. La velocidad promedio es
△s / △t = 64 - 84 / 1.5 - 1 = -20 / 0.5 = -40 pies por segundo
c. En el intervalo [ 1, 1.1] el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de s(l.l) = -16(1.1)2 + 100 = 80.64 pies. La velocidad promedio es
△s / △t = 80.64 - 84 / 1.1 - 1 = -3.36 / 0.1 = -33.6 pies por segundo
4.9 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
La optimización es una rama del cálculo que se ocupa precisamente de esto: encontrar los valores óptimos de una función que maximizan o minimizan una cantidad deseada, como la ganancia, el costo o la eficiencia.
Por ejemplo:
- El ranchero quiere escoger la mezcla de pastos para poder obtener el mayor aprovechamiento.
- Un científico desea escoger y aplicar la menor dosis de una vacuna para obtener el mayor aprovechamiento.
- Un fabricante desea minimizar el costo de producción de un producto.
Algunas veces, problemas que se presentan ante la vida real, pueden formularse y resolverse, al involucrar una función y así es como el cálculo se vuelve una herramienta muy poderosa para poder resolver este tipo de cuestionamientos.
EJEMPLO:
En una hoja tamaño carta realizará trazos de cuadrados que midan de lado 1, 2, 3, 5, 6,7, en cada una de las esquinas, después de trazar los cuadros, recortar de manera que quede unas pestañas a lo largo y ancho de la hoja y la pestaña se doblará para formar cinco cajas sin tapa como se muestra en la figura.
Ya que tienen elaboradas cada una de las cajas, el siguiente paso será calcular el volumen de cada una de ellas. Las operaciones las pueden desarrollar en la siguiente tabla, la sugerencia es que, si alguien trae en su celular el Excel, puede realizar las operaciones.
Después de llenar la tabla, debemos de hacer los siguientes cuestionamientos:
a) Si con la hoja tamaño carta, me piden hacer una caja, donde contenga el mayor volumen, qué
dimensiones son las que nos servirían.
b) Podrá existir otras dimensiones que nos den un mayor volumen.
c) ¿Qué pasa al momento de ir cambiando el valor del lado del cuadrado?
d) ¿Cuál es el máximo valor que le podemos dar al cuadrado?
Para terminar la actividad, graficar los valores, en las abscisas (x) serán los valores del lado del cuadrado y las ordenadas (y), serán los valores del volumen. Decir que función representan los puntos.
Existen infinidad de problemas de aplicación, que se pueden resolver con la ayuda de los
máximos y mínimos y para ello es importante seguir los pasos siguientes:
a) Se hace un bosquejo del problema planteado y así poder interpretarlo
b) Se escribe la función para obtener el máximo o mínimo según sea el caso.
c) Se expresa la función en términos de una sola variable.
d) Se encuentra la derivada de dicha función y se iguala a cero, para determinar los valores
críticos.
e) Se obtiene la segunda derivada y sustituimos los puntos críticos para aplicar el teorema.
Si f’(c)=0 y f”(c)>0, entonces la función
tiene un mínimo.
Si f’(c)=0 y f”(c)<0, entonces la función
tiene un máximo.
Ahora resolveremos el problema planteado, que con una hoja tamaño carta, encontrar las
dimensiones para poder construir una caja que contenga el mayor volumen.
Siguiendo los pasos anteriores.
1.Hacemos el croquis para plantear el problema
2. Escribimos la función V=largo*ancho*altura 3. Expresar la función en términos de una sola variable, debes recordar que la variable en este caso será la altura (x)
V=(27.8-2x)(21.5-2x)(x) realizando operaciones
V=4x3-98.6x2+597.7x
4. Obtenemos la derivada, igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos
V’=12x2-197.2x+597.7
Igualando a cero y resolviendo la ecuación cuadrática por medio de la fórmula general.
Obtenemos los valores de x1=12.41
y
x2=4.009
5. Los valores obtenidos (puntos críticos) se sustituyen en la segunda derivada
V”=24x-197 para x=12.41
V”=100;
x=4.009
V”=-100.784
Y aplicando el teorema de la segunda derivada podemos deducir que cuando x=4.009,
obtendremos una caja con el mayor volumen.
Entonces las dimensiones de la caja: altura 4.009, largo= 19.782 y ancho=13.482
Con este simple ejemplo te puedes dar cuenta de la importancia de tener el conocimiento del
cálculo.
4.10 DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL
DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL
Definición de diferenciales:
Sea y = j(x) que representa una función que es derivable en un intervalo abierto que
contiene ax. La diferencial de x (denotada por dx) es cualquier número real distinto
de cero. La diferencial de y (denotada por dy) es
dy = f'(x) dx.
Comparar Llyy dy:
Sea y= x2 . Determine dy cuando x = l y dx = 0.01 . Compare este valor con Liy para
x = 1 y t::..x = 0.01.
Solución:
Como y = j(x) = x2 , se tiene f'(x) = 2x, y la diferencial dy está dada por
dy = J'(x) dx = f '(l)(0.01) = 2(0.01) = 0.02.
Diferencial de y
Ahora, utilizando t::..x = 0.01, el cambio en y es
Li y = f(x + Lix) - f(x) = f(l.01) - J(l) = (l.01)2 - 12 = 0.0201.
La definición de diferenciales, tiene
du = u’ dx y dv = v’ dx
De tal manera, se puede escribir la forma diferencial de la regla del producto como se muestra a continuación
4.11 CÁLCULO DE APROXIMACIONES USANDO DIFERENCIALES
CÁLCULO DE APROXIMACIONES USANDO DIFERENCIALES
Cuando usamos la recta tangente a una función f como aproximación de su gráfica, el cambio en x (denotado Δx) se usa para aproximar el cambio en y (Δy).
1. La diferencial de x (dx) es cualquier número real distinto de cero.
2. La diferencial de y (dy) está definida como:
dy=f′(x)dx.
El diferencial dy se puede usar para aproximar Δy Delta :
Δy≈ dy =f′(x) dx.
Solución:
1. Sea f(x) =
2 Elegimos
Resultado aproximado: √ 4.1 ≈ 2.025
Ejemplo:
Aproximación de una función cuadrática
Sea y x2. Determinar dy y compararlo con Δy cuando x = 2 y dx = 0.1
Solución
1. F (x) = x2 , entonces f’ (x) = 2x
2. Calculamos dy
Dy = f′ (2) dx = 2 (2) (0.1) = 0.4.
3. Calculamos Δy:
Δy = f (2.1) – f (2) = ( 2.1 ) 2 – 22 = 4.41 – 4 = 0.41.
El valor de dy = 0.4 es una buena aproximación de Δy = 0.41
4.12 LA REGLA DE L' HOPITAL
LA REGLA DE L' HOPITAL
Se puede utilizar un teorema llamado la regla de L' Hopital. Este teorema afirma que bajo ciertas condiciones, el límite del cociente f(x)/g(x) es determinado por el límite del cociente de las derivadas
f'(x)
g'(x)'
Para demostrar este teorema, se puede utilizar un resultado más general llamado teorema ampliado del valor medio.
Teorema ampliado del valor medio
Sif y g son derivables sobre un intervalo abierto y continuo [a, b ], tal que g' (x) et O
para cualquier x sobre [a, b], entonces existe un punto (a, b) tal que
Sean f y g funciones que son diferenciables sobre un intervalo abierto (a, b) que contiene a c, excepto posiblemente en c mismo. Suponga que g' (x) * O para todo x sobre (a, b), excepto posiblemente en e mismo. Si el límite de f (x) / g(x) cuando en x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0 entonces
martes, 3 de diciembre de 2024
PRESENTACIÓN DEL EQUIPO
PRESENTACIÓN DEL EQUIPO:
FRASE MOTIVACIONAL: LO ÚNICO IMPOSIBLE ES AQUELLO QUE NO INTENTAS
METAS A CORTO PLAZO: TERMINAR EL SEMESTRE CON BUENAS CALIFICACIONES
ALUMNO: JONATHAN ULISES NAVA RODRIGUEZ
FRASE MOTIVACIONAL: SIEMPRE CON FE Y COSECHA CON ABUNDANCIA
METAS A CORTO PLAZO: COMPRAR UN CABALLO
ALUMNO: ULISES LÁZARO VILLARREAL
FRASE MOTIVACIONAL: NO CUENTES LOS DÍAS, HAZ QUE LOS DÍAS CUENTEN
METAS A CORTO PLAZO: APRENDER A INVERTIR Y APRENDER LA INVERSIÓN DE CETES DEL GOBIERNO
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TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. VICTORIA Materia Cálculo Diferencial Tema 4. Aplicaciones de la derivada EQU...
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