4.4 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

La función y = f (x) presenta un máximo relativo para x = c; se observa en la gráfica que antes del máximo la derivada es positiva, es decir, la pendiente es positiva; después del máximo la derivada es negativa, es decir, la pendiente es negativa; como la derivada cambia de positiva a negativa, entonces la función es continua, ya que pasa por cero, dando lugar al siguiente enunciado:

La función y = f (x) tiene un máximo relativo para x = c; donde la derivada para x = c es cero (f ' (c) = 0) y cambia de signo pasando de positiva o negativa.

PASOS MÉTODO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (PASOS A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN)

1. Se encuentra la primera derivada de la función dada.
2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante determinando las raíces reales o valores críticos d la variable.

Se consideran los valores críticos uno por uno, para determinar los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente (+) y después (-), la función presenta un máximo relativo para el valor crítico de la variable que se analiza; en el caso contrario de (-) a (+), se tiene un mínimo relativo. Si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni un máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.

EJEMPLO:

• Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = 2x3 + 3x2 - 12x.

SOLUCIÓN:

a) Se encuentra la primera derivada de la función:

y = 2x3 + 3x2 - 12

y' = 6x2 + 6x - 12 = x2 + x - 2

b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:

x2 + x - 2 = 0

(x + 2) (x - 1) = 0 

x + 2 = 0x - 1 = 0

x1 = -2           x2 = 1     Raíces reales o valores críticos

c)Se analizan los valores críticos uno por uno

Para x = -2

Un valor un poco menor                                           Un valor un poco mayor

x = -3                                                                           x = -1

y' = x2 + x - 2                                                             y' = x2 + x - 2

y' = (-3)2 + (-3) - 2                                                    y' = (-1)2 + (-1) - 2

y' = 9 - 3 - 2 =  4                                                       y' = 1 - 1 - 2 = -2

y' = +                                                                         y = -

Para x = -2, tenemos un máximo cuyo valor es:

y = 2x3 + 3x2 - 12x

y = 2 (-2)3 + 3 (-2)2 - 12 (-2)

y = -16 + 12 + 24 = 20

Cuando e = -2, tenemos un máximo de 20.

Para x = 1

Un valor un poco menor                                          Un valor un poco mayor                                 

x = 0                                                                         x = 0

y ' = x2 + x - 2                                                          y' = x2 + x - 2

y' = (0)2 + (0) - 2 = -2                                              y' = (0)2 + (0) - 2 = -2

y' = -                                                                          y' = -

Para x = 1, tenemos un mínimo cuyo valor es:

y = 2x3 + 3x2 - 12x

y = 2 (1)3 + 3 (1)2 - 12 (1)

y = 2 + 3 - 12 = -7

Al realizar la gráfica correspondiente de y = 2x3 + 3x2 - 12x se tiene: