CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PASOS MÉTODO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (PASOS A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN)
- Se encuentra la primera derivada de la función dada.
- Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante determinando las raíces reales o valores críticos d la variable.
EJEMPLO:
- Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = 2x3 + 3x2 - 12x.
SOLUCIÓN:
a) Se encuentra la primera derivada de la función:
y = 2x3 + 3x2 - 12
y' = 6x2 + 6x - 12 = x2 + x - 2
b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:
x2 + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x + 2 = 0x - 1 = 0
x1 = -2 x2 = 1 Raíces reales o valores críticos
c)Se analizan los valores críticos uno por uno
Para x = -2
Un valor un poco menor Un valor un poco mayor
x = -3 x = -1
y' = x2 + x - 2 y' = x2 + x - 2
y' = (-3)2 + (-3) - 2 y' = (-1)2 + (-1) - 2
y' = 9 - 3 - 2 = 4 y' = 1 - 1 - 2 = -2
y' = + y = -
Para x = -2, tenemos un máximo cuyo valor es:
y = 2x3 + 3x2 - 12x
y = 2 (-2)3 + 3 (-2)2 - 12 (-2)
y = -16 + 12 + 24 = 20
Cuando e = -2, tenemos un máximo de 20.
Para x = 1
Un valor un poco menor Un valor un poco mayor
x = 0 x = 0
y ' = x2 + x - 2 y' = x2 + x - 2
y' = (0)2 + (0) - 2 = -2 y' = (0)2 + (0) - 2 = -2
y' = - y' = -
Para x = 1, tenemos un mínimo cuyo valor es:
y = 2x3 + 3x2 - 12x
y = 2 (1)3 + 3 (1)2 - 12 (1)
y = 2 + 3 - 12 = -7
Al realizar la gráfica correspondiente de y = 2x3 + 3x2 - 12x se tiene:
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