miércoles, 4 de diciembre de 2024

4.4 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

La función y = f (x) presenta un máximo relativo para x = c; se observa en la gráfica que antes del máximo la derivada es positiva, es decir, la pendiente es positiva; después del máximo la derivada es negativa, es decir, la pendiente es negativa; como la derivada cambia de positiva a negativa, entonces la función es continua, ya que pasa por cero, dando lugar al siguiente enunciado:
La función y = f (x) tiene un máximo relativo para x = c; donde la derivada para x = c es cero (f ' (c) = 0) y cambia de signo pasando de positiva o negativa.

PASOS MÉTODO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (PASOS A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN)

  1. Se encuentra la primera derivada de la función dada.
  2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante determinando las raíces reales o valores críticos d la variable.
Se consideran los valores críticos uno por uno, para determinar los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente (+) y después (-), la función presenta un máximo relativo para el valor crítico de la variable que se analiza; en el caso contrario de (-) a (+), se tiene un mínimo relativo. Si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni un máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.

EJEMPLO:

  • Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = 2x3 + 3x2 - 12x.

SOLUCIÓN:

a) Se encuentra la primera derivada de la función:

y = 2x3 + 3x2 - 12

y' = 6x2 + 6x - 12 = x2 + x - 2

b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:

x2 + x - 2 = 0

(x + 2) (x - 1) = 0 

x + 2 = 0x - 1 = 0

x1 = -2           x2 = 1     Raíces reales o valores críticos

c)Se analizan los valores críticos uno por uno

Para x = -2

Un valor un poco menor                                           Un valor un poco mayor

x = -3                                                                           x = -1

y' = x2 + x - 2                                                             y' = x2 + x - 2

y' = (-3)2 + (-3) - 2                                                    y' = (-1)2 + (-1) - 2

y' = 9 - 3 - 2 =  4                                                       y' = 1 - 1 - 2 = -2

y' = +                                                                         y = -

Para x = -2, tenemos un máximo cuyo valor es:

y = 2x3 + 3x2 - 12x

y = 2 (-2)3 + 3 (-2)2 - 12 (-2)

y = -16 + 12 + 24 = 20

Cuando e = -2, tenemos un máximo de 20.

Para x = 1

Un valor un poco menor                                          Un valor un poco mayor                                 

x = 0                                                                         x = 0

y ' = x2 + x - 2                                                          y' = x2 + x - 2

y' = (0)2 + (0) - 2 = -2                                              y' = (0)2 + (0) - 2 = -2

y' = -                                                                          y' = -

Para x = 1, tenemos un mínimo cuyo valor es:

y = 2x3 + 3x2 - 12x

y = 2 (1)3 + 3 (1)2 - 12 (1)

y = 2 + 3 - 12 = -7

Al realizar la gráfica correspondiente de y = 2x3 + 3x2 - 12x se tiene:



No hay comentarios:

Publicar un comentario

Nota: solo los miembros de este blog pueden publicar comentarios.

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA

  TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. VICTORIA Materia Cálculo Diferencial   Tema 4. Aplicaciones de la derivada EQU...