4.5 CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN DE FUNCIONES

 CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN DE FUNCIONES

Al localizar los intervalos en los que la derivada de una función crece o decrece, podemos indicar sobre la gráfica en dónde se curva hacia abajo o hacia arriba; lo anterior se conoce como concavidad.

CRITERIO DE CONCAVIDAD:

• Sea y = f (x) una función cuya gráfica se cóncava hacia arriba si su segunda derivada es positiva (y '' > 0) y es cóncava hacia abajo si su segunda derivada es negativa (y '' < 0).

PUNTOS DE INFLEXIÓN:

Es aquel que separa los arcos de una curva que tienen su concavidad en sentidos opuestos.

En cada punt de inflexión la recta tangente cruza la curva, por lo que el signo de la segunda derivada cambia en dichos puntos.

Para encontrar los puntos de inflexión se requiere calcular los valores de x para los que la segunda derivada es igual a cero.

REGLAS PARA ENCONTRAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN Y EL SENTIDO DE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA:

1. Se determina la segunda derivada de la función dada
2. Se iguala a cero la segunda derivada, se resuelve la ecuación resultante y se consideran las raíces reales de la ecuación
3. Se analizan los valores de las raíces obtenidas, primero para valores un poco menores y después para valores un poco mayores; si el signo de la segunda derivada cambia, indica la existencia de un punto de inflexión.

• Cuando la segunda derivada es positiva, la curva es cóncava hacia arriba (+).
• Cuando la segunda derivada es negativa, la curva es cóncava hacia abajo (-).

EJEMPLO: 

• Encuentra los puntos de inflexión y el sentido de la concavidad para y = x3 - 3x2 + 3 y traza su gráfica.

SOLUCIÓN:

a)Se determina la segunda derivada de la función:

y = x3 - 3x2 + 3

y' = 3x2 - 6x

y'' = 6x - 6

y'' = x - 1

b)Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación resultante.

x - 1 = 0

x = 1

c)Se analiza el valor de la raíz obtenida

Para x = 1

Un valor un poco menor                                       Un valor un poco mayor

x = 1/2 = 0.5                                                           x = 3/2 = 1.5

y'' = x - 1                                                                y = x - 1

y'' = 1/2 - 1 = - 1/2                                                 y'' = 3/2 - 1 = 1/2

y '' = -                                                                     y'' = +

Si hay punto de inflexión.

El punto de inflexión es:

y = x3 - 3x2 + 3 }  Para x = 1, se tiene:

y = (1)3 - 3 (1)2 + 3

y = 1 - 3 + 3 = 1

Existe un punto de inflexión en (1,1).

Al elaborar la gráfica correspondiente de y = x3 - 3x2 + 3, se tiene: