4.1 TEOREMA DE ROLLE

 TEOREMA DE ROLLE

El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] debe tener tanto un mínimo como un máximo en el intervalo. Ambos valores, sin embargo, pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle, nombrado así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.

•  Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
• Si    ƒ(a) ƒ(b)
• entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que ƒ′(c) = 0 

DEMOSTRACIÓN:

•  Caso 1: Si ƒ(x) = d para todo x en [a, b], f es constante en el intervalo y, por el teorema 2.2, ƒ'(x)=0 para todo x en (a, b). 
• Caso 2: Suponer que ƒ(x) > d para algún x en (a, b). Por el teorema del valor extremo, se sabe que f tiene un máximo en algún punto c en el intervalo. Además, como ƒ(c) > d, este máximo no puede estar en los puntos terminales. De tal modo, f tiene un máximo en el intervalo abierto (a, b). Esto implica que f(c) es un máximo relativo y por el teorema 3.2, c es un número crítico de f. Por último, como f es derivable en c, es posible concluir que ƒ(c) 0.
• Caso 3: Si ƒ(x) < d para algún x en (a, b), se puede utilizar un argumento similar al del caso 2, pero implicando el mínimo en vez del máximo. 

EJEMPLO:

 Encontrar las dos intersecciones en x de 

 f (x) = x2 - 3x + 2

 y demostrar que ƒ′(x) = 0 en algún punto entre las dos intersecciones en x. 

 Solución:  Advertir que f es derivable en toda la recta real. Igualando a 0 ƒ(x) se obtiene 

 x2 - 3x + 2 = 0                                  Igualar f(x) a cero.

(x - 1) (x - 2) =0                                   Factor.

De tal modo, ƒ (1) = ƒ (2) = 0, y de acuerdo con el teorema de Rolle se sabe que existe al menos una c en el intervalo (1, 2) tal que ƒ′(c) = 0. Para determinar una c de este tipo, es factible resolver la ecuación.

f'(x) = 2x - 3 = 0                              Igualar f ′(x) a cero. 

y determinar que ƒ′(x) = 0 cuando x = 3/2. Advertir que el valor de x se encuentra en el intervalo abierto (1, 2), como se indica en la figura 3.9. 

 El teorema de Rolle establece que si f satisface las condiciones del teorema, debe haber al menos un punto entre a y b en el cual la derivada es 0. Es posible que exista más de un punto de estas características, como se muestra en el siguiente ejemplo.

 TEOREMA DEL VALOR MEDIO 

 El teorema de Rolle puede utilizarse para probar otro teorema: el teorema del valor medio.

 Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número c en (a, b) tal que

                                     f '(c) = f (b) - f (a) / b - a

 DEMOSTRACIÓN:

 Hacemos referencia a la figura 3.12. La ecuación de la recta secante que contiene los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) es

y = [f (b) - f (a) / b - a] (x - a) + f (a)

Sea g(x) la diferencia entre f(x) y y. Entonces

g(x) = f (x) - y

        = f (x) - [f (b) - f (a) / b - a] (x - a) - f (a)

 Evaluando g en a y b, se observa que g(a) = 0 = g(b). Como f es continua en [a, b] se sigue que g también es continua en [a, b]. Además, en virtud de que f es derivable, g también lo es, y resulta posible aplicar el teorema de Rolle a la función g. Así, existe un número c en (a, b) tal que g′(c) = 0, lo que implica que

0 = g' (c)

   = f ' (c) - f (b) - f (a) / b - a

De tal modo, existe un número c en (a, b) tal que

f ' (c) = f (b) - f (a) / b - a

NOTA:

El término “medio” en el teorema del valor medio se refiere al ritmo de cambio medio (o promedio) de f en el intervalo [a, b].

EJEMPLO: 

Determinación de una recta tangente 

 Dada ƒ(x) = 5 - (4 / x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1, 4) tales que

f ' (c) = f (4) - f (1) / 4 - 1

Solución:

La pendiente de la recta secante que pasa por (1, ƒ (1) ) y (4, ƒ (4) ) es

f (4) - f (1) / 4 - 1 = 4 - 1 / 4 - 1 = 1

Nótese que f satisface las condiciones del teorema del valor medio. Esto es que f es continua en el intervalo [1, 4] y derivable en el intervalo (1, 4). Entonces, existe al menos un número c en (1, 4) tal que ƒ′(c) = 1. Resolviendo la ecuación ƒ′(x) = 1, se obtiene

f ' (x) = 4 / x2 = 1

que implica x = ± 2. De tal modo, en el intervalo (1, 4), se puede concluir que c 2, como se indica en la figura 3.13.