4.11 CÁLCULO DE APROXIMACIONES USANDO DIFERENCIALES

CÁLCULO DE APROXIMACIONES USANDO DIFERENCIALES

Cuando usamos la recta tangente a una función f como aproximación de su gráfica, el cambio en x (denotado Δx) se usa para aproximar el cambio en y (Δy).

1. La diferencial de x (dx) es cualquier número real distinto de cero.

2. La diferencial de y (dy) está definida como: 

                                                          dy=f′(x)dx.

El diferencial dy se puede usar para aproximar Δy Delta :

                                                                         Δy≈ dy =f′(x) dx.

Solución: 

1. Sea f(x) =

2 Elegimos

3. Calculamos:

Resultado aproximado: √ 4.1 ≈ 2.025

Ejemplo: 

Aproximación de una función cuadrática

Sea y x2. Determinar dy y compararlo con Δy cuando x  = 2  y dx = 0.1

Solución 

1. F (x) = x2 , entonces f’ (x) = 2x

2. Calculamos dy 

Dy = f′ (2) dx = 2 (2) (0.1) = 0.4.

3.  Calculamos Δy: 

Δy = f (2.1) – f (2) = ( 2.1 ) 2 – 22 = 4.41 – 4 = 0.41.

El valor de dy = 0.4 es una buena aproximación de Δy = 0.41