miércoles, 4 de diciembre de 2024

4.8 RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

 RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

Ya ha visto que la derivada se utiliza para calcular pendientes. Pero también sirve para determinar la razón del cambio de una variable respecto a otra, lo que le confiere utilidad en una amplia variedad de situaciones. Algunos ejemplos son las razones de crecimiento de poblaciones, las razones de producción, las razones de flujo de un líquido, la velocidad y la aceleración.
Un uso frecuente de la razón de cambio consiste en describir el movimiento de un objeto que va en línea recta. En tales problemas, la recta del movimiento se suele representar en posición horizontal o vertical, con un origen marcado en ella. Sobre tales rectas, el movimiento hacia la derecha ( o hacia arriba) se considera de dirección positiva y el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) de dirección negativa. La función s que representa la posición (respecto al origen) de un objeto como función del tiempo t se denomina función de posición. Si durante cierto lapso de tiempo C!.t el objeto cambia de su posición en una cantidad.
△s = s (t + △t) - s (t)
entonces, empleando la consabida fórmula 
Razón = distancia / tiempo
La velocidad promedio es 
Cambio en distancia / Cambio en tiempo = △s / △t       velocidad promedio

EJEMPLO:

Velocidad promedio de un objeto en su caída Si se deja caer una bola de billar desde una altura de 100 pies, su alturas en el instante t se representa mediante la función de posición. 
 s = -16t2 + 100                  Función de posición
donde s se mide en pies y t en segundos. Encuentre su velocidad promedio para cada uno de estos intervalos 
 a. [1 , 2]     b. [1 , 1.5]      c. [1 , 1.1]

SOLUCIÓN: 

a. En el intervalo [ 1, 2], el objeto cae desde una altura de s( 1) = -16(1 )2 + 100 == 84 pies hasta una altura de s(2) = - 16(2)2 + 100 = 36 pies. La velocidad promedio es 
△s / △t = 36 - 84 / 2 - 1 = -48 / 1 = -48 pies por segundo

b. En el intervalo [l, 1.5] el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de s(l.5) = -16(1.5)2 + 100 = 64 pies. La velocidad promedio es
△s / △t = 64 - 84 / 1.5 - 1 = -20 / 0.5 = -40 pies por segundo

c. En el intervalo [ 1, 1.1] el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de s(l.l) = -16(1.1)2 + 100 = 80.64 pies. La velocidad promedio es
△s / △t = 80.64 - 84 / 1.1 - 1 = -3.36 / 0.1 = -33.6 pies por segundo


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