4.6 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 La función y = f (x) tiene un número relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor negativo; tendrá un mínimo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor positivo.

SEGUNDO MÉTODO PARA CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (PASO A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN):

1. Se encuentra la primer derivada de la función dada.
2. Se iguala la primer derivada a cero y se resuelve, se determina las raíces reales o valores críticos de la variable.
3. Se encuentra la segunda derivada de la función dada.
4. Se sustituye en la segunda derivada cada uno de los valores críticos obtenidos.

Si el valor resultante es negativo, la función presenta un máximo para el valor considerado; si el valor resultante es positivo, la función presenta un mínimo para el valor crítico considerado.

El método anterior no es aplicable si la segunda derivada es igual a cero o no existe; en su lugar se aplica el primer método.

EJEMPLO:

• Aplicando el segundo método, determina los máximos y mínimos relativos para las siguientes funciones: y = x4 - 4x2 + 4

SOLUCIÓN:

a) Se encuentra la primer derivada de la función:

y = 3x5 - 20x3

y' = 15x4 - 60x2

y' = x4 - 4x2

b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:

x4 - 4x2 =0

x2 (x2 - 4) = 0

x1 = 0           x2 - 4 = 0

                          x2 = 4

                          x2 = ± 2

c) Se encuentra la segunda derivada de la función:

y' = x4 - 4x2

y'' = 4x3 - 8x

y'' = x3 - 2x

d) Se analizan los valores críticos en la segunda derivada:

Para x = 0

y'' = x3 - 2x

y'' = (0)3 - 2 (0)

y'' = 0

Como y'' = 0, el criterio de la segunda derivada no se aplica.

Para x = 2

y'' = x3 - 2x

y'' = (2)3 - 2 (2)

y'' = 8 - 4 = 4

y'' = +    Mínimo

Cuando x = 2, tenemos un máximo, cuyo valor es:

y = 3x5 - 20x3

y = 3 (2)5 - 20 (2)3

y = 96 - 160

y = -64

Existe un mínimo en -64

Para x = -2

y'' = x3 - 2x

y'' = (-2)3 - 2 (-2)

y'' = -8 + 4 = -4

y'' = -     Mínimo

Cuando x = -2, tenemos un máximo, cuyo valor es:

y = 3x5 - 20x3

y = 3 (-2)5 - 20 (-2)3

y = -96 + 160

y = 64

Existe un máximo en 64

Al elaborar la gráfica correspondiente de y = 3x5 - 20x, se tiene: