4.2 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

Una función f es creciente en un intervalo si para cualquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f (x1) < f (x2).

Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 <x2 implica f (x1) > f (x2).

CRITERIO PARA LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES:

Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).

1. Si f ' (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]
2. Si f ' (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]
3. Si f ' (x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a, b]

EJEMPLO:

Intervalos sobre los cuales fes creciente y decreciente

Determine los intervalos abiertos sobre los cuales f (x) = x3 -3/2x2 es crecientes o decreciente.

Solución:

Observe que f es derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar los puntos críticos de f, iguale a cero f ' (x).

f (x) = x3 - 3/2x2             Escriba la función original.

f ' (x) = 3x2 - 3x              Derive.

Para determinar los puntos críticos de f, iguales f ' (x) a cero.

3x2 - 3x = 0                    Iguale f ' (x) a cero.

3 (x) (x - 1) = 0               Factorice.

x = 0, 1                            Puntos críticos.

Como no hay puntos para los cuales f ' no existe, puede concluir que x = 0 y x = 1 son los únicos puntos críticos. La tabla siguiente resume la prueba de los tres intervalos determinados por estos dos puntos críticos.

 

Por el teorema, f es creciente sobre los intervalos (-∞, 0) y (1, ∞) y decreciente en el intervalo (0, 1), como se indica en la figura 5.16