miércoles, 4 de diciembre de 2024

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA

 TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. VICTORIA

Materia Cálculo Diferencial

 Tema 4. Aplicaciones de la derivada

EQUIPO:
-LEIDY JOSELIN CAMACHO RAMIREZ N.C:24383001
CARRERA: INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES


-JONATHAN ULISES NAVA RODRIGUEZ N.C:24383014
CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL


-ULISES LÁZARO VILLARREAL N.C:24383006
CARRERA: INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES


     
Fecha del Semestre: Agosto – diciembre 2024


4.1 TEOREMA DE ROLLE

 TEOREMA DE ROLLE

El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] debe tener tanto un mínimo como un máximo en el intervalo. Ambos valores, sin embargo, pueden ocurrir en los puntos extremos. El teorema de Rolle, nombrado así en honor del matemático francés Michel Rolle (1652-1719), proporciona las condiciones que garantizan la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado.
  •  Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
  • Si    ƒ(a) ƒ(b)
  • entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que ƒ′(c) = 0 

DEMOSTRACIÓN:

  •  Caso 1: Si ƒ(x) = d para todo x en [a, b], f es constante en el intervalo y, por el teorema 2.2, ƒ'(x)=0 para todo x en (a, b). 
  • Caso 2: Suponer que ƒ(x) > d para algún x en (a, b). Por el teorema del valor extremo, se sabe que f tiene un máximo en algún punto c en el intervalo. Además, como ƒ(c) > d, este máximo no puede estar en los puntos terminales. De tal modo, f tiene un máximo en el intervalo abierto (a, b). Esto implica que f(c) es un máximo relativo y por el teorema 3.2, c es un número crítico de f. Por último, como f es derivable en c, es posible concluir que ƒ(c) 0.
  • Caso 3: Si ƒ(x) < d para algún x en (a, b), se puede utilizar un argumento similar al del caso 2, pero implicando el mínimo en vez del máximo. 

EJEMPLO:

 Encontrar las dos intersecciones en x de 
 f (x) = x2 - 3x + 2
 y demostrar que ƒ′(x) = 0 en algún punto entre las dos intersecciones en x. 
 Solución:  Advertir que f es derivable en toda la recta real. Igualando a 0 ƒ(x) se obtiene 
 x2 - 3x + 2 = 0                                  Igualar f(x) a cero.
(x - 1) (x - 2) =0                                   Factor.
De tal modo, ƒ (1) = ƒ (2) = 0, y de acuerdo con el teorema de Rolle se sabe que existe al menos una c en el intervalo (1, 2) tal que ƒ′(c) = 0. Para determinar una c de este tipo, es factible resolver la ecuación.
f'(x) = 2x - 3 = 0                              Igualar f ′(x) a cero. 
y determinar que ƒ′(x) = 0 cuando x = 3/2. Advertir que el valor de x se encuentra en el intervalo abierto (1, 2), como se indica en la figura 3.9. 
 El teorema de Rolle establece que si f satisface las condiciones del teorema, debe haber al menos un punto entre a y b en el cual la derivada es 0. Es posible que exista más de un punto de estas características, como se muestra en el siguiente ejemplo.


 TEOREMA DEL VALOR MEDIO 

 El teorema de Rolle puede utilizarse para probar otro teorema: el teorema del valor medio.
 Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un número c en (a, b) tal que
                                     f '(c) = f (b) - f (a) / b - a

 DEMOSTRACIÓN:

 Hacemos referencia a la figura 3.12. La ecuación de la recta secante que contiene los puntos (a, ƒ(a)) y (b, ƒ(b)) es

y = [f (b) - f (a) / b - a] (x - a) + f (a)

Sea g(x) la diferencia entre f(x) y y. Entonces
g(x) = f (x) - y
        = f (x) - [f (b) - f (a) / b - a] (x - a) - f (a)
 Evaluando g en a y b, se observa que g(a) = 0 = g(b). Como f es continua en [a, b] se sigue que g también es continua en [a, b]. Además, en virtud de que f es derivable, g también lo es, y resulta posible aplicar el teorema de Rolle a la función g. Así, existe un número c en (a, b) tal que g′(c) = 0, lo que implica que
0 = g' (c)
   = f ' (c) - f (b) - f (a) / b - a
De tal modo, existe un número c en (a, b) tal que
f ' (c) = f (b) - f (a) / b - a
NOTA:
El término “medio” en el teorema del valor medio se refiere al ritmo de cambio medio (o promedio) de f en el intervalo [a, b].

EJEMPLO: 

Determinación de una recta tangente 
 Dada ƒ(x) = 5 - (4 / x), determinar todos los valores de c en el intervalo abierto (1, 4) tales que
f ' (c) = f (4) - f (1) / 4 - 1

Solución:

La pendiente de la recta secante que pasa por (1, ƒ (1) ) y (4, ƒ (4) ) es
f (4) - f (1) / 4 - 1 = 4 - 1 / 4 - 1 = 1
Nótese que f satisface las condiciones del teorema del valor medio. Esto es que f es continua en el intervalo [1, 4] y derivable en el intervalo (1, 4). Entonces, existe al menos un número c en (1, 4) tal que ƒ′(c) = 1. Resolviendo la ecuación ƒ′(x) = 1, se obtiene
f ' (x) = 4 / x2 = 1
que implica x = ± 2. De tal modo, en el intervalo (1, 4), se puede concluir que c 2, como se indica en la figura 3.13.


4.2 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

 FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

Una función f es creciente en un intervalo si para cualquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f (x1) < f (x2).
Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquiera dos números x1 y x2 en el intervalo, x1 <x2 implica f (x1) > f (x2).

CRITERIO PARA LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES:

Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b).
  1. Si f ' (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]
  2. Si f ' (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]
  3. Si f ' (x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a, b]

EJEMPLO:

Intervalos sobre los cuales fes creciente y decreciente
Determine los intervalos abiertos sobre los cuales f (x) = x3 -3/2x2 es crecientes o decreciente.

Solución:

Observe que f es derivable en toda la recta de los números reales. Para determinar los puntos críticos de f, iguale a cero f ' (x).
f (x) = x3 - 3/2x2             Escriba la función original.
f ' (x) = 3x2 - 3x              Derive.
Para determinar los puntos críticos de f, iguales f ' (x) a cero.
3x2 - 3x = 0                    Iguale f ' (x) a cero.
3 (x) (x - 1) = 0               Factorice.
x = 0, 1                            Puntos críticos.
Como no hay puntos para los cuales f ' no existe, puede concluir que x = 0 y x = 1 son los únicos puntos críticos. La tabla siguiente resume la prueba de los tres intervalos determinados por estos dos puntos críticos.
 
Por el teorema, f es creciente sobre los intervalos (-∞, 0) y (1, ∞) y decreciente en el intervalo (0, 1), como se indica en la figura 5.16


4.3 VALORES EXTREMOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

 VALORES EXTREMOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

Si f es una función cuyo valor es c, se tiene que:

  • Si f (c) se llama un máximo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f (x) ≤ f (c) para todo x en dicho intervalo; es decir, si f (c) es mayor que cualquiera de los valores de f (x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.
  • f (c) se llama un mínimo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a x tal que f (x) ≥ f (c) para todo x en dicho intervalo; es decir, si f (c) es menor que uno cualquiera de los valores de f (x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.
De las anteriores definiciones se hace notar que no deben confundirse los máximos y mínimos relativos con los puntos máximos o mínimos de la función, que son aquellos donde la ordenada y es mayor o menor en la gráfica, por lo que se denomina absolutos.

EJEMPLO:

La función f (x) en el intervalo [a, d] presenta un valor mínimo absoluto en x = -a; el valor máximo absoluto se presenta en x = d; los extremos relativos se presentan en x = b (máximos) y x = c (mínimo).


4.4 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

La función y = f (x) presenta un máximo relativo para x = c; se observa en la gráfica que antes del máximo la derivada es positiva, es decir, la pendiente es positiva; después del máximo la derivada es negativa, es decir, la pendiente es negativa; como la derivada cambia de positiva a negativa, entonces la función es continua, ya que pasa por cero, dando lugar al siguiente enunciado:
La función y = f (x) tiene un máximo relativo para x = c; donde la derivada para x = c es cero (f ' (c) = 0) y cambia de signo pasando de positiva o negativa.

PASOS MÉTODO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (PASOS A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN)

  1. Se encuentra la primera derivada de la función dada.
  2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante determinando las raíces reales o valores críticos d la variable.
Se consideran los valores críticos uno por uno, para determinar los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente (+) y después (-), la función presenta un máximo relativo para el valor crítico de la variable que se analiza; en el caso contrario de (-) a (+), se tiene un mínimo relativo. Si el signo de la primera derivada no cambia, la función no presenta ni un máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.

EJEMPLO:

  • Calcula los máximos y mínimos relativos de la función y = 2x3 + 3x2 - 12x.

SOLUCIÓN:

a) Se encuentra la primera derivada de la función:

y = 2x3 + 3x2 - 12

y' = 6x2 + 6x - 12 = x2 + x - 2

b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:

x2 + x - 2 = 0

(x + 2) (x - 1) = 0 

x + 2 = 0x - 1 = 0

x1 = -2           x2 = 1     Raíces reales o valores críticos

c)Se analizan los valores críticos uno por uno

Para x = -2

Un valor un poco menor                                           Un valor un poco mayor

x = -3                                                                           x = -1

y' = x2 + x - 2                                                             y' = x2 + x - 2

y' = (-3)2 + (-3) - 2                                                    y' = (-1)2 + (-1) - 2

y' = 9 - 3 - 2 =  4                                                       y' = 1 - 1 - 2 = -2

y' = +                                                                         y = -

Para x = -2, tenemos un máximo cuyo valor es:

y = 2x3 + 3x2 - 12x

y = 2 (-2)3 + 3 (-2)2 - 12 (-2)

y = -16 + 12 + 24 = 20

Cuando e = -2, tenemos un máximo de 20.

Para x = 1

Un valor un poco menor                                          Un valor un poco mayor                                 

x = 0                                                                         x = 0

y ' = x2 + x - 2                                                          y' = x2 + x - 2

y' = (0)2 + (0) - 2 = -2                                              y' = (0)2 + (0) - 2 = -2

y' = -                                                                          y' = -

Para x = 1, tenemos un mínimo cuyo valor es:

y = 2x3 + 3x2 - 12x

y = 2 (1)3 + 3 (1)2 - 12 (1)

y = 2 + 3 - 12 = -7

Al realizar la gráfica correspondiente de y = 2x3 + 3x2 - 12x se tiene:



4.5 CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN DE FUNCIONES

 CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN DE FUNCIONES

Al localizar los intervalos en los que la derivada de una función crece o decrece, podemos indicar sobre la gráfica en dónde se curva hacia abajo o hacia arriba; lo anterior se conoce como concavidad.

CRITERIO DE CONCAVIDAD:

  • Sea y = f (x) una función cuya gráfica se cóncava hacia arriba si su segunda derivada es positiva (y '' > 0) y es cóncava hacia abajo si su segunda derivada es negativa (y '' < 0).

PUNTOS DE INFLEXIÓN:

Es aquel que separa los arcos de una curva que tienen su concavidad en sentidos opuestos.

En cada punt de inflexión la recta tangente cruza la curva, por lo que el signo de la segunda derivada cambia en dichos puntos.
Para encontrar los puntos de inflexión se requiere calcular los valores de x para los que la segunda derivada es igual a cero.

REGLAS PARA ENCONTRAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN Y EL SENTIDO DE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA:

  1. Se determina la segunda derivada de la función dada
  2. Se iguala a cero la segunda derivada, se resuelve la ecuación resultante y se consideran las raíces reales de la ecuación
  3. Se analizan los valores de las raíces obtenidas, primero para valores un poco menores y después para valores un poco mayores; si el signo de la segunda derivada cambia, indica la existencia de un punto de inflexión.
  • Cuando la segunda derivada es positiva, la curva es cóncava hacia arriba (+).
  • Cuando la segunda derivada es negativa, la curva es cóncava hacia abajo (-).
EJEMPLO: 
  • Encuentra los puntos de inflexión y el sentido de la concavidad para y = x3 - 3x2 + 3 y traza su gráfica.
SOLUCIÓN:
a)Se determina la segunda derivada de la función:
y = x3 - 3x2 + 3
y' = 3x2 - 6x
y'' = 6x - 6
y'' = x - 1
b)Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación resultante.
x - 1 = 0
x = 1
c)Se analiza el valor de la raíz obtenida
Para x = 1
Un valor un poco menor                                       Un valor un poco mayor
x = 1/2 = 0.5                                                           x = 3/2 = 1.5
y'' = x - 1                                                                y = x - 1
y'' = 1/2 - 1 = - 1/2                                                 y'' = 3/2 - 1 = 1/2
y '' = -                                                                     y'' = +
Si hay punto de inflexión.
El punto de inflexión es:
y = x3 - 3x2 + 3 }  Para x = 1, se tiene:
y = (1)3 - 3 (1)2 + 3
y = 1 - 3 + 3 = 1
Existe un punto de inflexión en (1,1).
Al elaborar la gráfica correspondiente de y = x3 - 3x2 + 3, se tiene:


4.6 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 La función y = f (x) tiene un número relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor negativo; tendrá un mínimo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor positivo.

SEGUNDO MÉTODO PARA CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (PASO A SEGUIR PARA SU SOLUCIÓN):

  1. Se encuentra la primer derivada de la función dada.
  2. Se iguala la primer derivada a cero y se resuelve, se determina las raíces reales o valores críticos de la variable.
  3. Se encuentra la segunda derivada de la función dada.
  4. Se sustituye en la segunda derivada cada uno de los valores críticos obtenidos.
Si el valor resultante es negativo, la función presenta un máximo para el valor considerado; si el valor resultante es positivo, la función presenta un mínimo para el valor crítico considerado.
El método anterior no es aplicable si la segunda derivada es igual a cero o no existe; en su lugar se aplica el primer método.

EJEMPLO:

  • Aplicando el segundo método, determina los máximos y mínimos relativos para las siguientes funciones: y = x4 - 4x2 + 4

SOLUCIÓN:

a) Se encuentra la primer derivada de la función:
y = 3x5 - 20x3
y' = 15x4 - 60x2
y' = x4 - 4x2
b) Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:
x4 - 4x2 =0
x2 (x2 - 4) = 0
x1 = 0           x2 - 4 = 0
                          x2 = 4
                          x2 = ± 2
c) Se encuentra la segunda derivada de la función:
y' = x4 - 4x2
y'' = 4x3 - 8x
y'' = x3 - 2x
d) Se analizan los valores críticos en la segunda derivada:
Para x = 0
y'' = x3 - 2x
y'' = (0)3 - 2 (0)
y'' = 0
Como y'' = 0, el criterio de la segunda derivada no se aplica.
Para x = 2
y'' = x3 - 2x
y'' = (2)3 - 2 (2)
y'' = 8 - 4 = 4
y'' = +    Mínimo
Cuando x = 2, tenemos un máximo, cuyo valor es:
y = 3x5 - 20x3
y = 3 (2)5 - 20 (2)3
y = 96 - 160
y = -64
Existe un mínimo en -64
Para x = -2
y'' = x3 - 2x
y'' = (-2)3 - 2 (-2)
y'' = -8 + 4 = -4
y'' = -     Mínimo
Cuando x = -2, tenemos un máximo, cuyo valor es:
y = 3x5 - 20x3
y = 3 (-2)5 - 20 (-2)3
y = -96 + 160
y = 64
Existe un máximo en 64
Al elaborar la gráfica correspondiente de y = 3x5 - 20x, se tiene:

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA

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